如果$f$在$[a,b]$上单调，$\alpha$是在$[a,b]$上单调递增的连续函数，则$f\in\mathcal{R}(\alpha)$.

 

 

证明：我当然是先证明一个稍微简单一点的命题：

若$f$是$[a,b]$上的单调递增函数，则$f$在$[a,b]$上黎曼可积.

证明：设$P$是$[a,b]$的一个划分，$P=\{x_0,\cdots,x_n\}$.且$\forall 0\leq i\leq n$,我们有$x_{i+1}-x_i=\frac{b-a}{n}$.则对于小区间$[x_i,x_{i+1}]$来说，在该小区间上，最大值为$f(x_{i+1})$,最小值为$f(x_i)$.因此

$$[f(x_{i+1})-f(x_i)](x_{i+1}-x_i)=\frac{b-a}{n}(f(x_{i+1}-f(x_i))$$

把这些小区间全部加起来，可得总和为

$$\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$$

可见，随着$n$的增大，$$\frac{b-a}{n}(f(b)-f(a))$$会小于任意给定的正实数$\varepsilon$.因此$f$在$[a,b]$上黎曼可积.

现在，我们证明$f$在$[a,b]$上Riemann-Stieltjes可积.证明是很简单的，只需把上面的证明修改一下，主要用到的性质就是$\alpha$在闭区间上连续则一致连续.